Зададимся вопросом: как аналитически найти площадь круга?

Нарезка на прямоугольники

Идея: разрежем круг на тонкие концентрические кольца и «развернём» каждое кольцо в прямоугольник.

Кольцо радиуса r и шириной Δr имеет длину окружности 2πr. Развернутое кольцо — это прямоугольник:

• длина: 2πr
• ширина: Δr
• площадь: 2πr · Δr

Площадь всего круга — сумма площадей всех таких колец, от r = 0 до r = R. Чем меньше Δr, тем точнее приближение.

Если выложить эти нарезанные полоски (каждую длиной 2πr) на графике слева направо — от r = 0 до r = R — получится треугольник. В основании R, высота 2πR: площадь треугольника ½ · R · 2πR = πR².

Результат: площадь круга S = πR². Тот же подход — нарезка фигуры на «маленькие кусочки», подсчёт их площади и переход к пределу — лежит в основе интегрального исчисления и, как увидим дальше, ведёт к производным.