Математика сводится к уравнениям не больше, чем поэзия — к правописанию.

Формулы — это просто удобная запись; можно было бы жить и без них и словами писать: притяжение равно произведению масс двух тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Но в виде формулы

во-первых занимает меньше места, а во-вторых позволяет удобно работать с уравнением и при необходимости переносить полиномы, чтобы решить задачу.

Интуиция же нужна, чтобы не упускать из вида то, что стоит за формулой, то, что она означает — отношение объектов друг к другу.

В машинном обучении приходится догадываться до решения; без интуиции это невозможно.

BetterExplained

BetterExplained — сайт Калида Азада (Kalid Azad) с интуитивными объяснениями математики. Автор сознательно строит материал от образа и смысла к символам, а не наоборот.

ADEPT-подход

Объяснения там строят по схеме ADEPT: Make explanations ADEPT — Use an Analogy, Diagram, Example, Plain-English description, and then a Technical description. Сначала аналогия и картинка, потом конкретный пример и формулировка простыми словами — и только в конце символы и строгая запись. Не сразу «вот формула», а цепочка, которая доводит до неё.

Зачем мы учим математику?

Говорят, математика учит думать — это не так.

Математика это конкретный, мощный словарь для идей.

Представьте повара: его словарь — это продукты, их пропорции и способ их обработки. Повар исследует, чтобы получить рецепт (идею).

Как развить интуицию в математике

Представьте, что надо описать кота. Как бы вы поступили?

• Описали количество ног и наличие усов и хвоста?
• Или рассказали бы про поведение?
• Или про Домен: Эукариоты → Царство: Животные → Тип: Хордовые → Класс: Млекопитающие?
• Или вы бы взялись за описание ДНК?

Какое из них правильное? Каждое в какой-то мере, но наиболее полное описание несёт всё же ДНК.

Математическое понимание как раз следует паттерну описания ДНК.

Теперь опишите круг на математическом языке.

Баланс интуиции и деталей

Для понимания необходимы и интуиция и технические детали, роли у них разные, но служат одной цели.

Удобная метафора: лук и стрелы.

Интуиция — это лук. Она задаёт направление: куда целиться, что вообще происходит, зачем эта тема нужна. Без лука стрелы есть, но попасть трудно.

Детали — это стрелы. Формулы, шаги решения, определения — конкретные инструменты, которые делают работу. Стрел много, они «дешёвые»: их можно насобирать зубрёжкой.

От общего к частному

Приводится пример художника, который сначала намечает план рисунка, используя линии, овалы и квадраты, чтобы сопоставить пропорции, — и только после этого приступает к проработке деталей.

Такой же подход рекомендуется использовать и в процессе обучения.

Аналогии полезны, даже если ошибочны

All models are wrong, but some are useful — George Box

Мозг — это ассоциативная машина: если новому знанию не за что зацепиться, понимания предмета не добиться.

Рисунок отражает понимание предмета

Попробуйте изобразить то, что вы хотите понять — вам сразу станет видно пробелы.

Используйте цвета, рисуйте карикатуры (эмоции помогают запомнить информацию), а если нарисовать целый сюрреалистичный сюжет, то информация ляжет в память очень надолго.

Самопроверка — наше всё

Представьте повара: неважно, что за рецепт попал к нему в руки — если в итоге блюдо получилось невкусным, значит, что-то не так. Чувство вкуса — это главный инструмент для приготовления пищи.

Подобным образом проверяем понимание, три пункта:

1. Мне это понятно — могу объяснить простым языком и могу назвать связанные темы.
2. Я это запомнил — у меня есть аналогия, схема или пример, которые запомнятся мне на месяцы или годы.
3. Мне приятно это припоминать — если есть отвращение, значит, что-то не так.

Далее в серии: BetterExplained — часть 2 — Арифметика.