Время реакции водителя (заметил → принял решение → начал действовать) ~ 1 сек.

Значит, если препятствие возникает ближе 16 метров (при 60 км/ч), то вероятно, что сделать ничего уже не получится. А если скорость в три раза больше, то какое расстояние является критическим?

Т.е. если на дорогу вы тратите 1 ч в день (полчаса в одну сторону), то в год вы тратите на дорогу 250 часов.

Хотите увеличить инвестиции на 10% годовых? Они удвоятся за 7,2 года.

Хотите, чтобы ваши инвестиции удвоились за 5 лет? Вам нужна процентная ставка 72/5 или около 15%.

Вы можете использовать это правило в течение любого периода времени, а не только в течение нескольких лет.

Инфляция составляет 4%? Это уменьшит ваши деньги вдвое за 72/4 или 18 лет.

10 000 = сто сотен

миллион = тысяча тысяч

миллиард = тысяча миллионов

триллион = миллион миллионов

1% от 10 тыс. — это 100. Индекс Dow примерно 10 тыс. (сейчас около 12 тыс.). Если Dow падает на 100, это примерно потеря 1%.

Чему равно 5 тыс. × 50 тыс.? Это 250 × тысяча × тысяча, или 250 миллионов.

12 дней = 1 миллион секунд

1 год = 31 миллион секунд (примерно π × 10 миллионов)

30 лет = 1 миллиард секунд

30 000 лет = 1 триллион секунд

Одна «часть на миллион» — точность 1 секунды за 12 дней. Одна «часть на триллион» — точность 1 секунды за 30 000 лет.

С первого взгляда неочевидно, но это верно: a% от b = 0,01 × a × b — то же самое, что b% от a (0,01 × b × a).

Чему равно 16% от 25? Тому же, что 25% от 16: 4.

Чему равно 43% от 200? Тому же, что 200% от 43: 86.

Но чтобы добиться интуиции и понять её, надо вывести эту формулу самому.

Ниже — четыре техники выведения.

 1   2   3   4   5
10   9   8   7   6

Каждая вертикальная пара даёт одну и ту же сумму: \(1 + 10 = 2 + 9 = \ldots = n + 1\). Пар ровно \(\frac{n}{2}\).

 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
10   9   8   7   6   5   4   3   2   1

Складываем оба ряда: в каждом столбце снова \(n + 1\), столбцов \(n\) штук — итого:

Нужна сумма одного ряда, поэтому делим на 2:

x
x x
x x x
x x x x
x x x x x

\(n\) строк, в \(k\)-й строке \(k\) «клеток» — всего \(1 + 2 + \ldots + n\) единиц. Представьте, что складываете два таких треугольника «зуб к зубу» и получаете прямоугольник. Формулу постройте сами из этой картинки.

Все знают:

Перепишем:

Для ряда \(1, 2, \ldots, n\) среднее можно взять «на глаз» — из центра ряда: это \(\frac{n+1}{2}\). Элементов \(n\) штук, значит:

Для \(1 \ldots 100\): среднее \(\approx 50{,}5\), сумма \(50{,}5 \times 100 = 5050\).

Любая операция — это трансформация. В реальном мире есть то, что мы хотим сдвинуть, сплющить и растянуть — арифметика как раз даёт инструменты, чтобы это смоделировать.

1. накопление — подсчёт количества (сумма покупки)
2. сдвиг — перемещаем метку по шкале (температура)
3. комбинация — получаем новую величину из двух разных (звуковая волна)

1. повторение — несколько сложений подряд
2. масштабирование — число растёт или сжимается сразу целиком

1. умножить на 1/2: прибыль 1 превращается в прибыль 1/2 («unscale»)
2. умножить на −2: прибыль 1 превращается в убыток 2 («инверсировать»)

1. доля (\(a/b\)) — сколько взяли от целого: съели \(3/8\) пиццы, бак заполнен на \(2/5\)
2. разбиение (\(a \div b\)) — сколько кучек по \(b\) в \(a\): \(12 \div 3\) → 4 кучки по 3
3. обратное масштабированию — умножили на 3 → делим на 3, возвращаем исходное

Дробь смотрит на часть целого, деление — на сколько раз уместилось.

1. повторение умножения — \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\)
2. рост по измерениям — длина \(\times 2\) → площадь \(\times 4\) (\(n=2\)), объём \(\times 8\) (\(n=3\))
3. корень — обратная степень: \(2^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt[3]{8} = 2\); запись \(a^{1/n}\) связывает \(\sqrt[n]{a}\) и \(a^n\)

1. \(a^{-n}\) — «инверсировать» рост: не 8, а \(1/8\)
2. \(a^{1/n}\) — «unscale» по степени: от 8 вернуться к 2, не меняя знак